เพื่อนชั้น

วันเสาร์ที่ 11 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2555

ประวัติศาสตร์ของ ¶

ผู้เขียน: นิตยสาร My Math
หน้าที่ 1 - อาร์คีมีดีสถึงเอราทอสธีเนียส
ซึ่งไม่ได้วางอยู่บนหลักการอะไรเลยนอกเสียจากหลักพื้นๆหยาบๆไม่สูงส่งอัน ใด และ เครื่องประดิษฐ์เกรดต่ำในเชิงพาณิชย์ นั่นคือสิ่งที่เขาถูกกล่าวหาว่าประดิษฐ์ขึ้นด้วยความไม่ค่อยเต็มใจ ใน The Method อาร์คีมีดีสได้ เขียนจดหมายถึง เอราทอสธีเนียส บรรณารักษ์แห่งอเล็กซานเดรีย ซึ่งเขาเคยได้พบกันว่า :

จากอาร์คีมีดีสถึงเอราทอสธีเนียส

ข้าพเจ้าได้ส่งบางทฤษฎีบทที่ข้าพเจ้าได้ค้นพบก่อนหน้าให้แก่ท่านก็เพียง เขียนแถลงเพื่อเชื้อเชิญท่านค้นหาทางพิสูจน์ ซึ่งในตอนนั้นข้าพเจ้ามิได้ให้ [...] การพิสูจน์ทฤษฎีบทเหล่านั้น ข้าพเจ้าได้เขียนบันทึกลงในสมุดเล่มนี้ซึ่งตอนนี้ได้ส่งมาให้ท่าน ดังที่ข้าพเจ้าเคยกล่าว มากกว่าเพียงการมอง ด้วยท่านเป็นนักเรียนที่ตั้งใจจริงจัง […] ข้าพเจ้าคิดว่าเหมาะแล้วที่เขียนขึ้นมาให้สำหรับท่าน และอธิบายรายละเอียดในสมุดเล่มเดียวกันซึ่งเป็นวิธีการที่เฉพาะอย่างยิ่ง ซึ่งมีความเป็นไปได้สำหรับท่านจะไดสืบสวนบางประเด็นปัญหาในทางคณิตศาสตร์โดย วิธีการทางกลศาสตร์ ข้าพเจ้าออกจะเชื่อว่าด้วยขั้นตอนวิธีการเช่นนี้มิได้ไร้มรรคผลใด แม้กระทั่งการพิสูจน์ทฤษฎีบทเหล่านั้นในตัวพวกมันเอง แน่นอนว่าสิ่งประการแรกสุดที่ต้องปรากฏชัดสำหรับข้าพเจ้าโดยวิธีการทาง กลศาสตร์ แม้ว่ามันจะต้องแสดงให้เห็นด้วยเรขาคณิตในภายหลัง ก็เพราะว่าการสืบสวนเหล่านั้นจากวิธีการที่กล่าวถึงมิได้จัดแต่งขึ้นเพื่อ แสดงให้เห็นได้อย่างแท้จริง แต่ก็เป็นที่แน่นอนว่ามันเป็นการง่ายกว่า เมื่อเราได้ใช้มันด้วยวิธีการดังกล่าวซึ่งอาจใช้บางความรู้ของคำถาม เพื่อนำมาพิสูจน์ ซึ่งง่ายกว่าจะค้นพบโดยที่ปราศจากความรู้ใดๆก่อนหน้า



ตัวอย่างที่มีชีวิตชีวาของวิธีการเช่นนี้ ก็คือการประยุกต์ใช้หลักการของคานโดยอาร์คีมีดีสจนได้มาซึ่งปริมาตรของรูป ทรงกลมบางส่วน หรือแม้กระทั่งรูปทรงกลมทั้งหมด ดังที่ได้แสดงในภาพ การค้นพบของอาร์คีมีดีสครั้งนี้ล้ำค่ายิ่ง จนกระทั่งเขาขอร้องให้นำรูปทรงกลมที่แทรกอยู่ในรูปทรงกระบอกไปจารึกที่แท่น หินเหนือหลุมศพของเขา และ สิ่งนี้ก็ได้ถูกทำขึ้น ด้วยคิดว่าแท่นหินนี้สูญหายไป เราได้รายละเอียดที่จารึกบนแผ่นหินนี้จาก ซิเซโร (Cicero) ซึ่งได้ไปเยือนในคริสต์ศตวรรษที่ 1 ในระหว่างที่เขาไปปฏิบัติงานในฐานะผู้สืบค้นที่ซิชีลี (Sicily)

70224

หลักการของคานที่นำมาประยุกต์ใช้กับเรขาคณิต ระบบ PS ตั้งฉากกับ GF ที่จุดใดของ P จะตัดกับ รูปทรงกลม รูปทรงกรวย และ รูปทรงกระบอกโดยมีรัศมี PR,PQ และ PS ตามลำดับ อาร์คีมีดีสพิสูจน์ให้เห็นว่าวงกลมสองวงแรก (ซึ่งน้ำหนักของทั้งสองวงกลมได้สัดส่วนกับพื้นที่ของทั้งสองวงกลม) ที่วางอยู่บนคาน GEF ที่จุดหมุน E จะได้สมดุลกันกับวงกลมที่สามที่จุด P จากสิ่งนี้เขาจึงสามารถหาปริมาตรของส่วนของทรงกม หรือกระทั่งปริมาตรของทรงกลมทั้ง (4¶r3/3)


และความทรงจำที่น่าสนใจยิ่งสำหรับการที่ได้ค้นพบ The Method ซึ่งถูกค้นพบในปี 1906 ในคอนสแตนติโนเปิ้ล บนแท่นจารที่เรียกว่า palimpsest ซึ่งก็คือการลบล้างตัวอักษรข้อเขียนดั้งเดิมออกจากแผ่นหนังสัตว์ (หนังแกะหรือหนังแพะ) และแทนที่ด้วยตัวอักษรใหม่ ถ้าตัวอักษรดั้งเดิมที่ถูกลบล้างออกกระทำอย่างไม่สมบูรณ์ ก็จะสามารถกู้คืนมาได้ด้วยวิธีการถ่ายภาพแบบพิเศษ ซึ่งในกรณีนี้ ตัวอักษรดั้งเดิมนั้นเป็นการคัดลอกในศตวรรษที่10 ในงานบางอย่างที่รู้จักกันว่าเป็นของอาร์คีมีดีส ซึ่งรวมทั้งตำรางานที่ยังคงมีอยู่เพียงเล่มเดียวนั่น คือ The Method


ความริษยาของยุคกลางมิได้เป็นอย่างที่บิชอบแห่งยูคาทันหรือนักรบแห่งครูเสด ที่คอนสแตนติโนเปิ้ลกระทำเสมอไป นั่นคือ การเผาตำราทางวิทยาศาสตร์ในฐานะงานของปิศาจ บางครั้งพวกเขาก็เพียงลบล้างตัวอักษรบนแผ่นหนังเหล่านั้นก็เพียงเพื่อ งานกระดาษหนัง บางทีพวกเขาคงจะลบล้างมันด้วยความหลงเชื่อเลอะเลือน



 ประวัติศาสตร์ของ ¶ (ตอนที่ 2)
แต่กระนั้นก็ตาม ท่านราบีก็ค่อนข้างจะแกว่งไปมาสำหรับความกว้างของผนังขันสาครทองสัมฤทธ์นั้น ถูกกำหนดให้เป็นสามในคัมภีร์มีดังว่า (I kings vii, 26):


และมันมีความหนากว้างหนึ่งฝ่ามือ (hand หนึ่งฝ่ามือประมาณ 4 นิ้ว ส่วนหนึ่งคิวบิทประมาณ 21.8 นิ้ว)* และดังนั้นขอบจึงทำขึ้นคล้ายขอบถ้วย มีช่อดอกลิลลี่ ขันนี้บรรจุได้สองพันบาธ 


นี่เป็นยุคสายัณห์ เมื่อมันยังมีความเป็นไปได้ที่จะพยายามประนีประนอมระหว่างวิทยา ศาสตร์กับศาสนา ไม่มีความประนีประนอมใดที่จะได้รับการยอมรับอย่างใจกว้างในช่วงรัตติกาลใคร ก็ตามที่ที่สร้างความขุ่นเคืองในสิ่งกล่าวในไบเบิล ย่อมเสี่ยงต่อการถูกทรมานและถูกเผาทั้งเป็น

ก่อนที่เราจะเคลื่อนไปสู่ราตรีกาล เรามาหยุดแวะเพื่อดื่มด่ำกับอดีตกาลอันเป็นความทรงจำที่เกาะแน่นของพวกเขา อันเกี่ยวข้องกับปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยที่ปราศจากการใช้ประโยชน์จากระบบ สัญลักษณ์ทางพีชคณิต (ซึ่งก็ได้ถูกแนะนำมาใช้อย่างมากมายในภายหลังโดยชาวอาหรับ) ตัวอย่างเช่น นีฮีไมอาห์ กล่าวว่าพื้นที่ของวงกลมเป็นดังนี้:




ถ้าใครต้องการวัดพื้นที่วงกลม ให้เขาคูณสายโยงใย (เส้นผ่านศูนย์กลาง) เข้ากับตัวมันเองแล้วหักออกหนึ่งในเจ็ดและหักออกอีกครึ่งหนึ่งของหนึ่งใน เจ็ด; ที่เหลือนั่นก็คือพื้นที่ หรือหลังคาของมัน
นั่นคือว่า พื้นที่คือ A = d^2- d^2 /7 - d^2 /14
ซึ่งเท่ากับ \left( {3 1/7} \right) \times \left( {d/2} \right)^2
ดังนั้นถ้าค่าของอาร์คีมีดีสที่ให้ ¶ = 3 1/7 นั้นเป็นที่ยอมรับ สูตรนี้ก็ถูกต้อง
นอกจากนี้ในยุคกลางของลาติน ยังไม่มีสัญลักษณ์เดี่ยว อย่างเช่น  ¶  ใช้สำหรับอัตราส่วนวงกลม ดังนั้นค่า  ¶ จำต้องถูกอธิบายในรูปแบบข้อความคำพูดเช่น : quantitas, in quam cum mutiplicetur diameter, proveniet circumferentia (ปริมาณที่เมื่อเส้นผ่านศูนย์กลางถูกคูณด้วยปริมาณที่ว่าแล้วผลได้คือเส้น รอบวง) และข้อความคำพูดเช่นนี้เมื่อแทรกเข้าอยู่ในประโยคคำพูดยาวๆ ที่มีค่าเท่ากับสูตร เช่น พื้นที่ของวงกลมก็จะเป็นดังต่อไปนี้:


Multipication medietatis diametric in se ejus, quod proveniet, inquantitatem, in quam cum multiplicatus diameter provenit circumferential, aequalis superficies circuli.

(ผลการคูณของครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางเข้ากับตัวของมันเอง และผลลัพธ์ที่ว่าถูกคูณด้วยปริมาณที่เมื่อเส้นผ่านศูนย์กลางถูกคูณด้วย ปริมาณที่ว่าแล้วผลได้คือเส้นรอบวง แล้วจะได้เท่ากับพื้นที่ของวงกลม)


ประโยคอันน่ากลัวเช่นนี้บ่งชี้ (อย่างถูกต้อง) ว่า   [(d/2) x (d/2)] x ¶ = A
บางทีชาวกรีกได้สร้างความก้าวหน้าอันยิ่งใหญ่ในทางคณิตศาสตร์นั่นเพราะ ว่าเรขาคณิตของพวกเขานั้นชัดเจนในเรื่องการคำนวณในเชิงตัวเลข และดังนั้นจึงไม่ได้ถูกสะดุดล้มลงในวิธีแสดงถึงความสัมพันธ์ในเชิงพีชคณิต อันเป็นภาษาที่เข้าใจได้ดังข้อความของยูคลิดที่ว่า
ในวงกลม มุมที่มีส่วนโค้งของวงกลมรองรับเท่ากัน แล้วคอร์ดจะยาวเท่ากัน หรือ ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมที่มีขนาดเท่ากัน แล้วด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมของทั้งคู่ได้สัดส่วนกัน  นั้นก็ยังไม่ได้ถูกปรับปรุงเลยใน 2,200 ปีที่ผ่านมา



ที่มา  วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com)

จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่เขียนแทนในรูปเศษส่วน ภาพ:ตรรกยะ1.JPG เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ ภาพ:ตรรกยะ2.JPG
ตัวอย่างจำนวนที่เป็นจำนวนตรรกยะ เช่น จำนวนเต็ม , เศษส่วน , ทศนิยมซ้ำ เป็นต้น

[แก้ไข] การเปลี่ยนเศษส่วนเป็นทศนิยม

        แบบที่ 1 การทำให้เศษเป็น 10 ,100 , 1000 ,... โดยอาศัย
ความรู้เรื่องของเศษส่วนที่เท่ากัน เช่น
(1) ภาพ:ตรรกยะ3.JPG
(2) ภาพ:ตรรกยะ4.JPG

แบบที่ 2 ใช้หลักของการหารยาว เช่น
ภาพ:ตรรกยะ6.JPG
สรุป ::: ในเรื่องเกี่ยวกับการเปลี่ยนเศษส่วนให้เป็นทศนิยม เราจะได้ทศนิยมซ้ำศูนย์หรือทศนิยมที่ซ้ำตัวเลขอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น

หมายเหตุ ==> ทศนิยมซ้ำศูนย์ เช่นภาพ:ตรรกยะ7.JPG อ่านว่า ศูนย์จุดสี่ศูนย์ ศูนย์ซ้ำ
==> ทศนิยมซ้ำตัวเลข เช่น ภาพ:ตรรกยะ8.JPG อ่านว่า ศูนย์จุดห้าสี่ห้าสี่ซ้ำ

[แก้ไข] การเปลี่ยนทศนิยมซ้ำให้เป็นเศษส่วน

ในที่นี้ขอแนะนำ 2 วิธี คือ
1.การทำให้ตัวที่ซ้ำกันหมดไปโดยการเอาค่าประจำตำแหน่งคูณเข้าไปทั้งสมการเพื่อให้เกิดสมการใหม่ 2.
ภาพ:ตรรกยะ9.JPG
3.ใช้สูตรลัด
ภาพ:ตรรกยะ10.JPG

สูตรคูณ

ในเลขคณิตพื้นฐาน
        สูตรคูณ (ซึ่งมีไว้สำหรับสอนการคูณกับเด็กนักเรียน) เป็นตารางกริดที่แถวและคอลัมน์มีหัวเป็นตัวเลขที่จะนำมาคูณ และตัวเลขในแต่ละช่องคือผลคูณของหัวแถวและคอลัมน์
ภาพ:สูตรคูณ.jpg
ภาพ:สูตรคูณ1.jpg
        จากตาราง ค่าของ 3 × 6 หาได้จากช่องที่ 3 กับ 6 ตัดกัน ได้คำตอบเป็น 18

การนำไปใช้ทั่วไป

        โดยปกติแล้ว เราจะนำสูตรคูณไปใช้เป็นคอลัมน์ เพื่อง่ายต่อการจดจำ ในรูปแบบดังนี้
1 × 7 = 7
2 × 7 = 14
3 × 7 = 21
4 × 7 = 28
5 × 7 = 35
6 × 7 = 42
7 × 7 = 49
8 × 7 = 56
9 × 7 = 63
10 × 7 = 70
11 × 7 = 77
12 × 7 = 84

รูปแบบที่ปรากฏในตารางคูณ

        ตัวอย่างสำหรับสูตรคูณแม่ 6
2 × 6 = 12
4 × 6 = 24
6 × 6 = 36
8 × 6 = 48
10 × 6 = 60
        ในรูปทั่วไป
         ตัวเลข × 6 = ครึ่งหนึ่งของตัวเลขคูณสิบ + ตัวเลข
        กฎนี้จะสะดวก จำง่ายสำหรับจำนวนคู่ แต่ก็ยังเป็นจริงสำหรับจำนวนคี่
1 × 6 = 05 + 1 = 6
2 × 6 = 10 + 2 = 12
3 × 6 = 15 + 3 = 18
4 × 6 = 20 + 4 = 24
5 × 6 = 25 + 5 = 30
6 × 6 = 30 + 6 = 36
7 × 6 = 35 + 7 = 42
8 × 6 = 40 + 8 = 48
9 × 6 = 45 + 9 = 54
10 × 6 = 50 + 10 = 60

ขอขอบคูณข้อมูลจาก

ความพิศวงของตัวเลข จำนวนเฉพาะตอนที่ 1

เคยคิดไหมครับว่า เวลาเราเรียนเลขเรื่องตัวประกอบนั้น เราจะเรียนเรื่องจำนวนเฉพาะไปทำไม
เคย คิดไหมครับว่า ทำไมเราสามารถส่งเบอร์บัตรเครดิตไปในทางอินเตอร์เน็ตได้ ในขณะที่ยังมีชาว บ้านใช้อินเตอร์เน็ตอยู่ด้วย หรือว่าโทรศัพท์ที่สัญญาณมันรู้ได้ไงว่าเราต้องการคุยกับคนนี้ 
คำตอบอยู่ที่จำนวนเฉพาะนี่แหละครับ 
จำนวนเฉพาะหรือภาษาอังกฤษที่เรียกกันว่า prime number นั้น เป็นที่ศึกษากันอย่างแพร่หลายของนักคณิตศาสตร์มากมายมาเป็นร้อยปีแล้ว
แล้วจำนวนเฉพาะคืออะไร
จำนวนเฉพาะก็คือจำนวนนับที่มีแค่สองตัวเท่านั้นที่หารมันลงตัว คือ 1 และตัวมันเอง
แล้วอย่างนี้หนึ่งถือเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
คำตอบคือไม่ครับ เพราะ (ตอบแบบกำปั้นทุบดิน) ก็มันมีจำนวนนับแค่ตัวเดียวไง แต่จริงๆแล้วที่เขาไม่นับว่า 1 เป็นจำนวนเฉพาะนั้นมีหลายสาเหตุด้วยกัน แต่สาเหตุหลักๆก็คือ 1 นั้นเป็นเลขพิเศษ (เป็นเอกลักษณ์การคูณ) รวมไปถึงในการแยกตัวประกอบนั้น
เราต้องการแยกตัวประกอบของจำนวนใดๆ ให้เป็นรูปของการคูณของตัวเลขที่น้อยกว่าจำนวนนั้น เช่น 2=1x2 แต่ 1 นั้นมันไม่มีนี่ครับ (แต่ตอนนี้นักคณิตศาสตร์บางคนก็บอกว่า 1 นั้นเป็นจำนวนเฉพาะเหมือนกัน)

แล้วจำนวนเฉพาะนั้นมีมาตั้งแ่ต่เมื่อไร
ว่า กันว่ามีมาตั้งแต่สมัยอียิปต์โบราณแล้วครับ ดังนั้นมีมาเป็นพันปีแล้วครับ แต่คนแรกที่พูดถึงจำนวนเฉพาะ ก็คือ ยูคลิด (Euclid) นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ (ซึ่งก็เป็นพันปีอีกเหมือนกัน) ยูคลิดนั้นเขียนหนังสือที่ชื่อว่า The Elements หนังสือเรื่อง The Elements นั้นมีถึง 13 เล่มด้วยกัน และเป็นหนังสือพิมพ์มากที่สุดอันดับสองทั่วโลกเลยนะครับ
จะเป็นรองก็เป็นเพียงแต่ไบเบิลเท่านั้น
จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด
จำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดนั้นง่ายใช่ไหมครับ เพราะว่ามันคือ 2 แต่ถ้านับ 1 ว่าเป็นจำนวนเฉพาะตามที่นักคณิตศาสตร์บางคนบอกว่าใช่ ก็หนึ่งแหละครับ
แต่ใหญ่ที่สุดหล่ะ คำตอบคือมันยังหาไม่ได้ครับ
ก็เพราะในหนังสือเรื่อง The Elements ของยูคลิดนะสิครับ ทำพิษ
เพราะยูคลิดพิสูจน์ให้เห็นว่า ถ้าเราเจอจำนวนเฉพาะใหญ่มากตัวหนึ่ง แต่หาไปอีกหน่อยเราก็จะเจอที่ใหญ่กว่านั้นอีก
เท่าที่คนหาได้ในตอนนี้ จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดนั้นคือ 232,582,657 − 1 หาเจอเมื่อ 11 เดือนกันยายน ปี 2006 นี้เองครับโดย Great Internet Mersenne Prime Search
ในนี้มีคำอยู่คำหนึ่งที่ชื่อว่า Mersenne Prime, Mersenne Prime นั้นเป็นวิธีการหาจำนวนเฉพาะวิธีหนึ่งครับ จากสมการ
Mn=2n-1
Mn นั้นจะเป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า n เป็นจำนวนเฉพาะครับ แต่จริงๆแล้ววิธีนี้ ก็ไม่ใช่จะหาจำนวนเฉพาะได้ทุกตัวหรอกนะครับ เพราะว่า ลองแทน n=11,
M11=211-1 =2047
แต่ 2047 มันหารได้ด้วย 23 กับ 89 ลงตัว
วิธีการตรวจดูว่าตัวเลขไหนที่เป็นจำนวนเฉพาะ 
แล้วมีวิธีไหนที่เราจะรู้ได้ว่าตัวเลขนั้น เช่น N เป็นจำนวนเฉพาะ
วิธี แรกก็คือ ก็ลองหารดูสิครับหารตั้งแต่ 1 ถึงตัวมันเลย ก็คือ N วิธีนี้ดูเหนื่อยใช่ไหมครับ งั้นก็เอาใหม่ ก็ลองหารด้วย 1 ถึง sqrt(n) ก็ลดลงได้เยอะ แต่ก็ยังช้าอยู่ดีใช่ไหมครับ
งั้นคราวนี้มาลองวิธีฉลาดๆดูบ้าง
วิธีฉลาดๆเช่น Fermat’s little theorem
Fermat นั้นเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสครับ แต่จะบอกว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ก็ไม่เชิง เพราะว่า Fermat นั้น หากินทางกฎหมายครับ แค่คิดเลขเป็นงานอดิเรกเท่านั้น
Fermat’s little theorem บอกว่า
ถ้า a เป็นจำนวนนับใดๆ และ p เป็นจำนวนเฉพาะ
ap-1  หารด้วย p ซะ แล้วถ้าได้เศษ 1 แล้วล่ะก็ p ก็เป็นจำนวนเฉพาะ
แต่แหม มันก็ดูยากนะครับ เพราะเราต้องหาว่า a ตัวไหน ที่จะทำให้ข้อความข้างบนเป็นจริง ดูแล้วก็เหนื่อย
มาดูิีอีกวิธีที่ฉลาดๆกันดูบ้างครับ (แต่วิธีนี้นั้นไม่ได้แน่นอนเสมอ)
เห็นคำว่า Mersenne prime ที่ตอนต้นไหมครับ Mn=2n-1
ถ้าเราเอา ก็เอา Mn มาหารด้วย n ซะ ถ้าเหลือเศษหนึ่ง ก็ิอุิบอิบก่อน แต่ถ้าไม่ใช่หนึ่ง Mn ก็ตัวประกอบแน่นอนครับ
แตุ่ถ้าเป็นหนึ่ง ก็ฮ่าๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ Mn อาจจะเป็นจำนวนเฉพาะก็ได้ หรืออาจจะไม่ใช่ก็ได้ (เพียงแต่ว่ามีแนวโน้มที่จะเป็นจำนวนเฉพาะมากกว่าเท่านั้นเอง)
ลักษณะของจำนวนเฉพาะนั้นมีมากมายครับ เช่น
Wilson’s theorem ที่บอกว่า จำนวนเต็ม p>1 เป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ (p-1)!+1 หารด้วย p ลงตัว
Bertrand’s postulate ที่บอกว่า ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 แล้ว จะมีจำนวนเฉพาะหนึ่งตัว p ที่ n<p<2n
ทั้ง หมดเป็นเรื่องเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะที่นักคณิตศาสตร์นั้นศึกษากันมาเป็นพันๆปี เลยนะครับเนี่ย ตอนหน้าเราจะมาดูกันว่า แล้วจำนวนเฉพาะนั้นสามารถนำมาประยุกต์ใช้กับอะไรกันได้บ้าง
ตอนนี้เอาแค่ปูพื้นฐานก่อนนะครับ ตอนหน้า เรามาดูกันว่า แล้วทำไมเราถึงส่งเบอร์บัตรเครดิตออกไปซื้อของออนไลน์กันได้ครับ
อ้างอิง
du Sautoy, M. The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. HarperCollins 2004 (มีเว็บไซท์ที่http://www.musicoftheprimes.com/)
Derbysrine, J. Prime Obssession, John Henry Press. Washington DC. 2003
Devlin, K. The language of mathematics, W. H. Freeman and Company, NY. 1998

เรื่องของเลขศูนย์

สมัยดึกดำบรรพ์
ไม่น่าเชื่อก็ต้องเชื่อนะครับว่า แต่ก่อนเนี่ยไม่มีเลขศูนย์ ไม่มีใครรู้จักเลขศูนย์เลย คนสมัยก่อนนั้นรู้จักการนับแค่ หนึ่ง สอง และมากมาย ครับ หรือถ้าไม่นับแบบนั้น บางแถบก็นับเป็นหน่วยของห้า (ก็นิ้วมือนี่แหละครับ) หรือหน่วยของสิบ (ก็นิ้วมือสองข้าง) หรือหน่วยของยี่สิบ (นิ้วมือนิ้วเท้า)
แล้วทำไมแต่ก่อนคนไม่รู้จักเลขศูนย์ คำตอบง่ายมากครับ คือเพราะเขาไม่ใช้ครับ คณิตศาสตร์ในสมัยก่อนโบราณกาล ก็ใช้นับสัตว์เลี้ยง เวลานับก็เริ่มจากหนึ่ง
หรือพอมีวิทยการมากขึ้นหน่อย ก็เอาตัวเลขมาสัมพันธ์กับเรขาคณิต เพราะฉะนั้นก็ไม่มีเลขศูนย์อยู่ดี พูดกันง่ายๆ ไม่รู้จักเลขตัวนี้ในสารบบ
เลขศูนย์มายังไง
เลขศูนย์นั้นมาจากอินเดียครับ แล้วเข้าสู่ยุโรปหลังจากที่มองโกลนั้นตีตะลุยโลก ทำให้เลขศูนย์นั้นเริ่มเผยแพร่เข้าไปในยุโรป ซึ่งนั่นก็เป็นช่วงคริตศตวรรษที่14 แต่เลขศูนย์นั้นคนเพิ่งเริ่มนิยมเมื่อไม่ถึงสองร้อยปีที่ผ่านมานี้เองนะครับ
แล้วทำไมคนถึงกลัวเลขศูนย์
ลองคิดดูสิครับ ทำไมคนถึงกลัวเลขศูนย์ ศูนย์หารอะไรก็ไม่ได้ คูณอะไรก็ได้ศูนย์ บวกอะไรก็ได้ตัวเดิม เรียกว่าในบรรดาตัวเลจทั้งหมด เลขศูนย์นี่พิเศษสุดๆ
เรื่องนี้เป็นเพราะว่า คนตะวันตกนั้น อยู่ในโลกวิทยาการของกรีกครับ และในปรัชญาของกรีกนั้นอยู่บนพื้นฐานว่าไม่มีช่องว่างครับ ซึ่งก็เหมือนจะไม่ใช่เรื่องใหญ่อะไรใช่ไหมครับ ก็ถ้ามันมีปัญหามาก ก็ทิ้งไปก็ได้
แต่ที่มีปัญหาก็เพราะว่า
จักรวาลของคนกรีกนั้น เชื่อว่าโลกเป็นจุดศูนย์กลางของจักรวาล จากโลกถัดไปก็เป็นดวงจันทร์ เป็นดาวอื่นๆ ไปเรื่อยๆ (เมื่อหลายพันปีมาแล้วนะครับ)

รูปนี้เป็นรูปจักรวาลในความคิดของปิธากอรัส ที่มา http://visav.phys.uvic.ca/~babul/AstroCourses/P303/Images/greek_Pythagorean.jpg
เอาล่ะครับ แล้วก็มีคำถามตามมาครับว่า แล้วใครทำให้โลกหมุน ดาวหมุน ตรงนี้แหละครับที่ทำให้คนตะวันตกนั้นงมโข่งไม่รู้จักเลขศูนย์เป็นพันๆปี
เพราะอริสโตเติลบอกว่า พระเจ้าไง ที่เป็นคนหมุน
ฮั่นแน่ ในเมื่อพระเจ้าเป็นคนหมุน ดังนั้นวิทยาการใหม่ๆที่ท้าทายความคิดเช่นโลกไม่เป็นจุดศูนย์กลาง รวมไปถึงเลขศูนย์ด้วย ก็ย่อมจะไม่เป็นที่พอใจของโบสถ์ และหลายคนได้ถูกฆ่าตายไปก็เพราะว่าไม่เชื่อในพระเจ้านี่แหละ
และเพราะศูนย์นั้นไม่มีในปรัชญากรีก ก็ในเมื่อคณิตศาสตร์ของกรีกนั้น พี่ท่านเอาไปสอดคล้องกับเรขาคณิต เลขศูนย์ก็ไม่รู้จักกันเข้าไปใหญ่ ชาวตะวันตกก็ไม่สนใจเรื่อยมาครับ ทั้งๆที่บางครั้งบางคราวก็มีคนคิดเรื่องนี้ขึ้น
การเริ่มต้นการเดินทางของเลขศูนย์
เลขศูนย์เริ่มเข้ามาพร้อมกับการบุกรุกของชาวมองโกลต่อโลกตะวันตก เมื่อคนมองโกลนั้น เผยแพร่วิทยาการต่างๆมากมายของโลกตะวันออกเข้าสู่โลกตะวันตก (ถ้าอยากรู้เพิ่มเติม เชิญอ่านที่ series ชุดเจงกีสข่านครับ แต่ชุดนั้นไม่มีเรื่องเลขนะครับ)
ในช่วงที่เข้ามาแรกๆนั้น โป๊ปนั้นก็ไม่รู้ว่าเลขศูนย์นี่แหละครับที่จะมา ท้าทายถึง ปรัชญาของศาสนาครับ เพราะว่าศูนย์นั้นมาเป็นแพ็คเกจครับ ถ้ามีศูนย์ก็ต้องมีอินฟินีตี้ (infinity หรืออนันต์ไปด้วย)
เพราะฉะนั้นศูนย์ก็เริ่มมีการศึกษาขึ้นครับ แต่เรื่องแรกที่เอาเลขศูนย์มาประยุกต์ใช้คือการวาดรูปครับ แล้วทำไมศูนย์กับอินฟินิตี้นั้นมาคู่กัน ดูรูปนี้เลยครับ


รูปนี้มาจาก http://www.mydigitalnoise.com/images/20051031212952_vanishing%20point%20-%20small.jpg
รูปนี้ก็คือรูป perspective ธรรมดาที่เรารู้จักกันดีใช่ไหมครับ (ภาพที่มีจุดศูนย์กลางของรูป เป็นจุดเดียว) แต่เห็นไหมครับว่าในขณะที่เรามองเห็นไกลสุดกู่ (อินฟินิตี้) เราเห็นสิ่งๆนั้นเป็นจุดครับ
และนี่แหละครับคือจุดเริ่มต้นของการเข้ามาของเลขศูนย์สู่ตะวันตกครับ เมื่อมีศิลปินที่ชื่อ Brunelleschi ได้วาดภาพ perspective รูปแรกของโลกในปี 1425 วิธีการก็คือการมองลอดรูเล็กๆ ผ่านกระจกครับ แล้วรูปแรกก็คือการวาดรูปโดมของเมืองฟลอเรนซ์ครับ (รูปวาดหาไม่เจอครับ แต่เทคนิคและวิธีนั้นดูได้ที่นี่ครับ)
และแล้วเมื่อราวคริตศตวรรษที่ 16-17 เลขศูนย์นั้น ก็เข้ามามีบทบาทมากขึ้น ไม่ว่าจะเป็นการค้นพบความดันบรรยากาศของปาสคาล ที่พบว่ามีสุญญากาศในหลอดบารอมิเตอร์
และแล้วปัญหาเรื่องศูนย์นั้น ก็เริ่มที่จะคลี่คลายลงด้วยดี แต่ช้าก่อน
เลขศูนย์กับแคลคูลัส
เพราะก่อนหน้าที่เราจะรู้จักเลขศูนย์เป็นอย่างดีนั้น มี Calculus เข้ามาครับ ซึ่งคิดโดยทั้งนิวตันและLiebnitz นั้นตอนนั้นก็ยังไม่รู้จักเลขศูนย์เท่าไร แต่ก็คิดแคลคูลัสขึ้นมาได้
แคลคูลัสคืออะไร แคลคูลัสคือวิชาว่าด้วยการหาความเปลี่ยนแปลงครับ เช่น เรารู้ว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อเวลา เรียกว่าความเร็ว อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อเวลา เรียกว่าความเร่ง รวมไปถึงความชันของกราฟก็คืออัตราการเปลี่ยนแปลงเหมือนกัน
แคลคูลัสนั้นก็ว่าด้วยเรื่องพวกนี้แหละครับ 
แต่พอเราต้องการหาความเปลี่ยนแปลง ถ้าเราต้องการหาให้ได้แม่นยำที่สุด แล้วทำยังไงครับ

รูปนี้มาจาก http://www.vias.org/calculus/img/04_integration-137.gif
จากรูปด้านบน ถ้าเราต้องการหาความชันของเส้นกราฟ y=x2 ให้ได้แม่นยำที่สุด เราก็ต้องทำให้ a กับ b ใกล้กันมากๆใช่ไหมครับ แล้วใกล้กันที่สุดมันคืออะไรครับ มันก็คือ a=b ถูกไหมครับ แต่ถ้า a=b เราก็จะหาความชันไม่ได้
เพราะว่าความชันคืออัตราส่วน∆y/∆x  แต่ถ้า ∆x ซึ่งก็คือ b-a แล้วถ้าเราต้องการใกล้ๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆกันมาก ซึ่งก็คือ ∆x =0
เอาแล้วไงครับ ปัญหามาแล้ว ∆x =0 มันหารไม่ได้!!!!!!!!!
แล้วนิวตันทำยังไง นิวตันก็บอกว่า อ๋อ ดูนะ ถ้าให้ y=x2
มาดูวิธีนิวตันนะครับ
y+Δy=(x+Δx)2
โดยที่ Δ นี่แทนค่าว่า เล็กๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆมากนะครับ
y+Δy=(x+Δx)2=x2+2xΔx+Δx2
แต่เรารู้ว่า y=x2 เพราะเราก็แทนค่าสิครับ
เราก็จะได้ว่า
 Δy=2xΔx+Δx2
แล้วคราวนี้มาดูวิธีที่นิวตันบอกครับ นิวตันบอกว่า ก็Δx นี่มันน้อยๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆมากแล้ว Δx2 ยิ่ง น้อยๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆเข้าไปใหญ่ เพราะฉะนั้นเอาออกเหอะ ทิ้งไว้ก็เกะกะเปล่าๆ มันก็เลยเหลือแค่นี้ครับ
 Δy/Δx=2x แล้วก็จบลงด้วยประการฉะนั้น
แต่ Calculus นั้นมาสมบูรณ์เมื่อ D'Alambert ได้พูดถึง limit ขึ้นมา เราก็ไม่เลยจำเป็นต้องมาคำนึงถึงว่าเราจะเอาศูนย์มาหารอีกต่อไป
นี่แหละครับการเดินทางของเลขศูนย์ในคณิตศาสตร์
แต่ในทางฟิสิกส์นั้น การเดินทางของศูนย์นั้นยังไม่จบครับ เพราะในทางฟิสิกส์นั้น เลขศูนย์คือจุดบรรจบกันของทฤษฏีของนิวตันกับทฤษฏีของไอน์สไตน์ รวมไปถึงจุดกำเนิดทฤษฏีสตริงด้วย และจะเป็นจุดกำเนิดของอีกหลายๆทฤษฏี
โดยสรุปนะครับ
ทฤษฏีนิวตัน ว่าด้วยการเคลื่อนที่ของของชิ้นใหญ่ๆครับ
ทฤษฏีสัมพันธภาพของไอน์สไตน์ ว่าด้วยมีกรอบอ้างอิงที่ไม่ว่าจะวัดอะไรมุม ไหน แต่ด้วยกรอบนี้ เป็นกรอบที่สมบูรณ์ ใครอยู่ในกรอบนี้ ก็จะเห็นการเคลื่อนที่เหมือนกัน ไม่ใช่การเคลื่อนที่แบบสัมพัทธ์ (อันนี้มีสี่มิติครับ สามมิติ(กว้าง ยาว สูง) แล้วก็เวลา
ทฤษฏีสตริง ว่าด้วย การอธิบายปรากฏการณ์ต่างๆด้วยการสั่นของเส้น ซึ่งมีถึง 11 มิติ ในการอธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ
อันนี้แถมครับ Chaos theory ทฤษฏีมั่วซั่ว เชื่อว่าทุกอย่างถึงแม้มันจะดูว่ามั่วขนาดไหน สิ่งต่างๆเหล่านี้นั้นมีรูปแบบ pattern ซ่อนอยู่เสมอครับ
ที่มา Seife, C. Zero: The bilography of a dangerous idea. Penguin Books, NY. 2000

ขอบคุณข้อมูลจาก http://gotoknow.org/blog/mathbeauty/91599

คณิตศาสตร์ไขปริศนาฟองเบียร์แฟบ

นักคณิตศาสตร์ค้นพบสูตรคำนวณเวลาฟอง เบียร์ละลายหลังจากรินปริ่มแก้ว คลายปริศนาได้ว่าเพราะเหตุใดฟองเบียร์ถึงหายไปเร็วกว่าฟองเบียร์ดำยี่ห้อกิน เนส

งานวิจัยดังกล่าวอาจดูเหมือนเรื่องไร้สาระ แต่ความจริงแล้วเป็นเคล็ดลับการบ่มเบียร์ให้เลิศรส และยังสามารถเอามาประยุกต์ใช้กับการผสมโลหะได้ เพราะโลหะและเซรามิกมีโครงสร้างแบบรังผึ้งที่ประกอบด้วยโครงข่ายฟองที่เต็ม ไปด้วยก๊าซที่แยกตัวออกจากของเหลวเหมือนฟองเบียร์

ผนังของฟองเหล่านี้เกิดการเคลื่อนตัวอันเนื่องจากแรงตึงผิว ความเร็วที่ผนังฟองเคลื่อนเป็นสัดส่วนกับความโค้งของฟองเบียร์ ผลจากการเคลื่อนที่นั้นทำให้ฟองรวมกัน และมีโครงสร้างหยาบลง ทำให้ฟองยุบตัวลงจนหายไปในที่สุด

งานวิจัยชิ้นนี้เป็นการศึกษาต่อยอดมาจากสมการที่ นักคณิตศาสตร์จอห์น ฟอน นอยมานน์ คิดค้นไว้เมื่อปี 2495 เพื่ออธิบายรูปแบบโครงสร้างแบบรังผึ้งในรูปแบบสองมิติ ซึ่งไม่มีใครรู้ว่าสมการของเขาใช้งานได้กับมิติอื่นขึ้นหรือไม่

ล่าสุด โรเบิร์ต แมคเฟียร์สัน จากสถาบันศึกษาชั้นสูงในปรินซ์ตัน รัฐนิวเจอร์ซีย์ และเดวิด สโรโลวิตซ์ จากมหาวิทยาลัยเยชิวา ในนิวยอร์กพบว่าสมการที่สร้างไว้เมื่อ 55 ปีที่แล้วใช้ได้กับรูปแบบสามมิติ สี่มิติ ห้ามิติ และหกมิติ

ศ.สโรโลวิตซ์ อธิบายว่า สิ่งที่เกิดขึ้นกับเบียร์คือ ฟองจิ๋วหดตัวลง ฟองใหญ่โตขึ้น สุดท้ายฟองใหญ่ก็แตก เนื่องจากโลกมีแรงดึงดูดและของเหลวที่อยู่ในผนังฟองมีแนวโน้มจะไหลกลับไปรวม กับเบียร์ ผนังฟองเริ่มเล็กลงและแตกหายไป อย่างไรก็ดี ศ.สโรโลวิตซ์ เดาว่าน่าจะเป็นเพราะเบียร์ดำกินเนสอาจมีสารลดความตึงผิวเจืออยู่เลยทำให้ ฟองเบียร์คงสภาพได้นานกว่า

ถึงกระนั้น สมการที่ถูกคิดค้นไว้เกินครึ่งศตวรรษสามารถประยุกต์ใช้กับวัสดุอื่นได้ด้วย โดยเฉพาะโลหะและเซรามิกที่มีลักษณะโครงสร้างที่เรียกว่า โพลีคริสตัลไลน์ หมายความว่ามันประกอบด้วยผลึกขนาดเล็กมากมายที่มีผนังกั้นระหว่างผลึก ดังกรณีของโลหะที่เอาไปหลอมในเตาหลอม ขนาดโดยเฉลี่ยของเม็ดโลหะจะใหญ่ขึ้น ผลึกขนาดเล็กจะหายไป เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงที่เกิดกับผนังกั้นระหว่างผลึกแต่ละเม็ด ซึ่งสามารถใช้สูตรคณิตศาสตร์ตัวเดียวกับที่คำนวณการเปลี่ยนรูปของฟองเบียร์ มาใช้และอาจช่วยนักวิทยาศาสตร์ปรับปรุงคุณภาพของวัสดุให้ดีขึ้น


ที่มา:: หนังสือพิมพ์ คมชัดลึก

การคิดเลขในใจ

การคิดเลขในใจเป็นสิ่งสำคัญ จำเป็นและมีประโยชน์ในการเรียนคณิตศาสตร์
  (Mental Math หรือ Figuring in You head) นั้นเป็นสิ่งสำคัญ จำเป็น และมีประโยชน์ในการเรียนคณิตศาสตร์ การฝึกคิดเลขในใจนั้นควรฝึกทุกระดับตั้งแต่ระดับประถมศึกษา แล้วก็จะช่วยส่งผลต่อการเรียนคณิตศาสตร์ในระดับมัธยมศึกษา และหากนักเรียนมีทักษะการคิดเลขในใจในระดับมัธยมศึกษาแล้วก็จะช่วยส่งผลต่อการเรียนชั้นระดับอุดมศึกษาเช่นกันอย่างแน่นอน

การคิดเลขในใจ
การจัดกิจกรรมเพื่อให้นักเรียนได้ฝึกคิดเลขในใจนั้น ควรจัดผสมผสานไปในกระบวนการเรียนการสอน และกระบวนการคิดทางคณิตศาสตร์การคิดเลขในใจเป็นการคิดเลขที่ไม่ใช้เครื่องช่วย เช่น กระดาษ ดินสอ เครื่องคิดเลข เป็นการฝึกคิดเลขในหัว Jack A. Hope, Larry leutzinger,Barbara J.Reys และ Robert E.Reys เชื่อว่า การคิดเลขในใจจะก่อให้เกิดประโยชน์มากมาย ดังนี้
  1. การคิดเลขในใจจะช่วยให้นักเรียนแก่ปัญหาต่าง ๆ ได้ดีขึ้น (Calculation in your head is a practical life skill) โจทย์ปัญหาการคิดคำนวณในชีวิตประจำวันหลายต่อหลายแบบนั้นสามารถหาคำตอบได้โดยการคิดในใจ เพราะในความเป็นจริงขณะที่เราพบปัญหา เราอาจจะต้องการทราบคำตอบเดี๋ยวนั้นเลย การคิดหาคำตอบต้องทำในหัว ไม่ใช้กระดาษ คินสอหรือเครื่องคิดเลขยกตัวอย่าง เช่น ขณะที่เรากำลังออกเดินทางจากสนามบินแห่งหนึ่ง departure board ระบุว่า Flight ที่เราจะออกเดินทางคือ 15.35 น. เรามองดูนาฬิกาว่าขณะนั้นเป็นเวลา 14.49 น. ถามว่ามีเวลาเหลือเท่าไร ? เรามีเวลาเหลือพอที่จะหาอะไรทานไหม ? ปัญหาเหล่านี้จำเป็นต้องคิดคำนวณในใจเลยซึ่งถ้าเราฝึกทักษะคิดเลขในใจมาประจำก็จะช่วยให้เราแก้ปัญหาดังกล่าวได้ง่ายขึ้น
  2. การฝึกคิดเลขในใจจะช่วยให้นักเรียนเขียนแสดงวิธีทำได้ง่ายขึ้นและเร็วขึ้น (Skill at mental math can make written computaion easier or quicker) เช่นในการหาคำตอบของ 1,000 x 945 นักเรียนบางคนอาจเขียนแสดงการหาคำตอบดังนี้
    ในขณะที่นักเรียนซึ่งฝึกคิดลขในใจมาเป็นประจำสามารถหาคำตอบได้ในหัวข้อแล้ว และลดขั้นตอนการเขียนแสดงวธีทำเหลือแค่บรรทัดเดียวคือ 1,000 x 945 = 945,000 เช่นเดียวกับการหาคำตอบของโจทย์ข้อนี้
    นักเรียนสามารถคิดในใจได้คำตอบ ถูกต้องแม่นยำและรวดเร็วโดยบวกจำนวนสองจำนวนที่ครบสิบก่อนแล้วจึงบวกกับจำนวนที่เหลือ (10 +10+ 10+ 2 = 32) ในขณะที่นักเรียนบางคนอาจใช้วิธีบวกทีละขั้นตอน ซึ่งกว่าจะได้คำตอบก็อาจใช้เวลามากกว่า

  3. การคิดเลขในใจจะช่วยเสริมสร้างความสามารถในการประมาณ (Proficiency in mental math contributes to increased skill in estimation) ทักษะการประมาณเป็นเรื่องที่สำคัญในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ในปัจจุบันเพราะการประมาณจะช่วยในการตรวจสอบคำตอบว่าน่าจะเป็นไปได้ไหม สามเหตุสมผลไหม (make any sence ) เช่น เป็นไปได้ไหมที่คำตอบของ 400x198 จะมากกว่า 80,000 (ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะว่า 400 x 200 = 80,000)
  4. การ คิดเลขในใจจะช่วยให้นักเรียนเข้าใจเรื่องเหล่านี้ดีขึ้น คือ ค่าประจำหลัก การกระทำทางคณิตศาสตร์และสมบัติต่าง ๆ ของจำนวน (Mental calculator can lead to a better understanding of place value, mathematical operations, and basic number properties) ทั่งนี้เพราะหากนักเรียนสามารถหาคำตอบได้จากการคิดเลขในใจนั้นก็แสดงว่า นักเรียนต้องมีความเข้าใจในความคิดรวบยอดหลักการต่าง ๆ ที่เกี่ยวกับจำนวนเป็นอย่างดีแล้วเช่นกัน

ครูควรให้นักเรียนทำแบบฝึกหัดคิดเลขในใจหลังจากที่นักเรียนเข้าใจในหลักการและวิธีการแล้วการฝึกคิดเลขในใจจะช่วยให้นักเรียนมีทักษะ ความชำนาญในการคิดเลขได้อย่างถูกต้อง แม่นยำ และรวดเร็วนอกจากนี้ยังช่วยลับสมองให้ตื่นตัวตลอดเวลาในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ครูควรหาแบบฝึกหัดมาให้นักเรียนทำทั้งที่เป็นแบบฝึกหักสำหรับคิดเลขในใจปะปนอยู่ด้วยตลอดเวลา ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์บางครั้งจะเสนอแบบฝึกหัดให้นักเรียนตอบด้วยวาจา นั่นก็เป็นรูปแบบหนึ่งของแบบฝึกหัดที่ต้องการให้นักเรียนฝึกคิดเลขในใจ โปรดระลึกว่าการฝึกคิดเลขในใจนั้นควรให้นักเรียนได้ฝึกเป็นประจำทึกวันอย่างสม่ำเสมอทำวันละน้อยแต่ต่อเนื่องและควรทำกับนักเรียนทุกระดับตั้งแต่ประถมศึกษาจนถึงมัธยมศึกษาและอุดมศึกษา หากครูผู้สอนคณิตศาสตร์ทุกคนได้ฝึกให้นักเรียนได้รู้จักคิดเลขในใจเป็นประจำก็เชื่อได้ว่านักเรียนจะมีทักษะการบวกลบคุณหารดีขึ้นคิดได้ถูกต้อง แม่นยำและรวดเร็วขึ้นภาพลักษณ์ของเด็กไทยในศตวรรษที่ 21 อาจเป็น " เด็กไทยคิดเลขเก่งและเร็วกว่าเครื่องคิดเลข" ก็ได้

มหัศจรรย์ เลข 11

การคูณ เลข 11 กับเลขสองหลัก มีหลักในการหาคำตอบ ดังนี้

1. ผลคูณในหลักหน่วยจะเป็นตัวเดียวกับหลักหน่วยของเลขสองหลัก

2. ผลคูณในหลักสิบได้จากการนำตัวเลขในหลักสิบและหลักหน่วยของเลขสองหลักมาบวกกันโดยไม่มีทด

3. ผลคูณในหลักร้อยจะเป็นตัวเดียวกับหลักสิบของเลขสองหลัก

1. 11 X 13 = 143

2. 11 X 17 = 187

3. 11 X 24 = 264

4. 11 X 35 = 385



การคูณ เลข 11 กับเลขสามหลัก มีหลักในการหาคำตอบ ดังนี้

1. ผลคูณในหลักหน่วยจะเป็นตัวเดียวกับหลักหน่วยของตัวตั้ง

2. ผลคูณในหลักสิบได้จากการนำตัวเลขในหลักสิบและหลักหน่วยของตัวตั้งมาบวกกัน แต่ถ้าผลบวกหลักสิบและหลักหน่วยของตัวตั้งได้ตั้งแต่สิบขึ้นไป ให้นำไปทดในหลักร้อยของผลคูณ

3. ผลคูณในหลักร้อยได้จากการนำตัวเลขในหลักร้อยและหลักสิบของตัวตั้งมาบวกกัน และบวกกับตัวทดจากหลักสิบถ้ามี

4. ผลคูณในหลักพันจะเป็นตัวเดียวกับหลักร้อยของเลขสองหลัก ดังตัวอย่าง เช่น

1. 11 X 106 = 1166

2. 11 X 322 = 3542

3. 11 X 447 = 4917

5. 11 X 63 = 693

คณิตศาสตร์ง่ายๆแต่แปลกดีแท้

แบบฝึกหัดนี้จะใช้เวลาไม่นาน.....แค่ 30 วินาที

ที่ต้องทำก็คือ ทำตามคำสั่งในที่มีอยู่ในแต่ละข้อ
อย่าขี้โกงข้ามไปข้อสุดท้ายก่อนหล่ะ หมดสนุกกันพอดี เตรียมเครื่องคิดเลขไว้ด้วยก็ดี

อันดับแรก ลองกำหนดสิว่า คุณอยากออกไปทานข้าวนอกบ้านสัปดาห์ละกี่ครั้ง?
2. เอาจำนวนครั้งที่ได้ คูณด้วย 2
3. แล้วบวกมันด้วย 5
4. คูณมันอีกทีด้วย 50
5. ถ้าปีนี้ วันเกิดคุณผ่านไปแล้ว ให้บวกด้วย 1756ถ้าวันเกิดคุณปีนี้ยังมาไม่ถึง ให้บวก 1755
6. ขั้นตอนสุดท้ายแล้วหล่ะ: หักปีค.ศ.ที่คุณเกิดออกจากจำนวนนั้น (เช่น ค.ศ. 1941ม 1973 เป็นต้น)

ถึงตรงนี้ คุณต้องได้ตัวเลข 3 หลักใช่มั้ย?
ตัวเลขตัวแรกของเลข 3 หลักที่คุณได้:
จะคือจำนวนครั้งต่อสัปดาห์ที่คุณกำหนดไว้ตอนแรกว่า
เป็นจำนวนครั้งที่คุณอยากออกไปทานข้าวนอกบ้าน
ที่นี้ก็มาถึงส่วนที่เจ๋งที่สุดของมันแล้วหล่ะ!!!

ตัวเลข 2 หลักสุดท้ายที่เหลือ +2  คือ … อายุของคุณ !!!!!! (ถูกมั้ย?) ปี 2008
เป็นปีเดียวที่เจ้าแบบทดสอบนี้จะเวิร์ค

ที่มา www.kapook.com

ทฤษฎีปิทาโกรัส


ทฤษฎีปิทาโกรัส
1.ทฤษฎีบทของปิทาโกรัส (Pythagorean Theorem)
ถ้า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมี มุม ACB เป็นมุมฉาก c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก a และ b แทนความยาวด้านประกอบมุมฉาก จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังนี้
c2 = a2 + b2
ข้อสังเกต นิยมใช้ a แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม A
นิยมใช้ b แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม B
นิยมใช้ c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม C
ตัวอย่าง จงหาความยาวของด้านที่ 3 ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อกำหนดความยาวของด้าน 2 ด้านให้ดังต่อไปนี้ a = 7 , b = 24
วิธีทำ
c2 = a2 + b2
c2 = 72 + 242
c2 = 49 + 576
c2 = 625
c2 =252
c = 25
2. บทกลับของปิทาโกรัส
ถ้า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มีด้านยาว a , b และ c หน่วย และ c2 = a2 + b2 จะได้ว่ารูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และมีด้านยาว c หน่วยเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
ข้อสังเกต ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ด้านตรงข้ามมุมฉากจะเป็นด้านที่ยาวที่สุด

         3. การนำไปใช้งาน
สามารถนำทฤษฎีปิทาโกรัสไปใช้ในการแก้ปัญหาโจทย์ที่เกี่ยวกับ ความกว้าง ความยาว หรือ ความสูงของสิ่งต่าง ๆ ได้

จินตคณิต สูตรคิดเร็ว สูตรคณิต คิดเร็ว

1.การคูณจำนวนใดๆ ด้วย 25
1.ให้เอา 4 หารจำนวนที่เป็นคู่คูณของ 25 นั้น เขียนเป็นผลลัพธ์ไว้
2.ถ้าหารลงตัว ให้เขียน 00 ต่อท้ายผลลัพธ์
3.ถ้าเศษ 1 ให้เขียน 25 ต่อท้ายผลลัพธ์นั้น
4.ถ้าเศษ 2 ให้เขียน 50 ต่อท้ายผลลัพธ์นั้น
5.ถ้าเศษ 3 ให้เขียน 75 ต่อท้ายผลลัพธ์นั้น

2.การหารจำนวนใดๆ ด้วย 25
ให้เอา 4 คูณจำนวนนั้น ได้ผลลัพธ์เท่าไหร่ ใส่ทศนิยม 2 ตำแหน่งเป็นผลลัพธ์ที่ถูกต้องและรวดเร็ว

3.การหารเลขใดๆ ด้วย 99
1.ถ้าเอาเลข 99 หารเลขตั้งแต่ 3 หลักขึ้นไป ให้เอาเลข หลักร้อยตัวหน้าของตัวตั้งเป็นผลลัพธ์

4.การคูณเลขใดๆ ด้วย 99,999,9999,....
ให้ลดคู่คูณของ 99 หรือ 999 หรือ 9999 ลง 1

5.การหาค่ากำลังสองของเลขที่ลงท้ายด้วย 5
1.ให้เอา 5 ตัวท้ายคูณกันได้ 25 ตั้งเป็นผลลัพธ์หลักหน่วย และหลักสิบไว้ก่อน
2.ให้เอาจำนวนที่อยู่หน้าเลข 5 คูณจำนวนที่นับต่อจากมัน คูณได้เท่าไร เขียนเป็นผลลัพธ์ต่อจาก 25 เป็นหลักร้อย หลักพันต่อไป เป็นผลลัพธ์ที่ถูกต้องและรวดเร็ว

6.การคูณเลข 2 หลักที่จำนวนหน้าเท่ากัน จำนวนหลังบวกกันได้ 10
1.ให้เอาเลขตัวท้ายคูณกันตั้งเป็นผลลัพธ์หลักหน่วย และหลักสิบไว้ก่อน
2.เอาตัวหน้าคูณกับจำนวนนับที่นับต่อจากมัน

7.การคูณเลขสองหลักที่มีหลักสิบเป็น 1 ทั้งตัวตั้งและตัวคูณ
1.ให้เอาหลักหน่วยคูณกัน ตั้งผลลัพธ์หลักหน่วยไว้ (ถ้าคูณกันได้เกิน 9 ให้ทดหลักสิบไว้ก่อน)
2.เอาหลักหน่วยตัวหลัง บวกกับจำนวนหน้า บวกกับตัวทดแล้วเขียนเป็นผลลัพธ์ต่อจากที่เขียนไว้เป็นหลักสิบหลักร้อยต่อไป ก้อจะได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องและรวดเร็ว

8.การคูณเลขสองหลักที่มีหลักหน่วยเป็น 1 ทั้งตัวตั้งและตัวคูณ
1.เขียน 1 เป็นหลักหน่วยที่ผลลัพธ์ตั้งไว้ก่อน
2.เอาเลขหลักสิบบวกกับหลักสิบ ได้เท่าไรเขียนเป็นผลลัพธ์หลักสิบ ต่อจาก 1 ถ้าบวกกันได้เลขสองตัวให้ทดตัวหน้าไว้ก่อน
3.เอาหลักสิบคูณหลักสิบบวกกับตัวทด ได้เท่าไร เขียนผลลัพธ์ต่อเป็นหลักร้อย หลักพันต่อไปเป็นผลลัพธ์ที่ถูกต้อง



credit http://www.geniusproject.th.gs

วันศุกร์ที่ 6 มกราคม พ.ศ. 2555

TIP เด็ด ๆ พิชิตคณิตศาสตร์
                 วิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาหนึ่ง ที่มักมีปัญหามากสำหรับพวกเรา ไม่ว่าจะทั้งระดับมัธยมหรือระดับมหาวิทยาลัยก็ตามก็อย่างที่รู้ๆกันอยู่ว่า คณิตศาสตร์นั้น มีแต่คำนวน และมีทฤษฎีเยอะแยะมากมาย ยากต่อการเข้าใจ แล้วทำอย่างไรดีล่ะ ที่จะเรียนวิชานี้ให้ได้ดี   (ถ้าได้ ดีไม่พอใจ ขอ A เลยแล้วกัน ฮ่าๆ)

เรียนคณิตศาสตร์อย่างไรให้ได้ดี ?
 เราต้องเริ่มฝึกฝนการเป็นผู้เรียนที่ดี โดย สามารถทำได้ตามขั้นตอนต่างๆดังนี้
1. เวลาฟังครู หรือเวลาอ่าน ต้อง คิด ถาม จด ถ้าไม่เข้าใจควรจดคำถามไว้เพื่อคิดค้นคว้า หรือ ถามผู้รู้ต่อไป
2. หมั่นดูหนังสือหรือทำการบ้านอย่างมีประสิทธิภาพ ควรหามุมอ่านหรือทำการบ้านที่เหมาะสมกับตนเอง
3. จัดเวลาสำหรับทบทวนสิ่งที่เรียนมา หรืออ่านล่วงหน้าสิ่งที่จะเรียนต่อไป และถ้าปฏิบัติตามที่กำหนดได้ควรให้ รางวัลตัวเอง เช่น ได้ขนม ได้เล่น ได้ฟังเพลง ดูทีวี ได้เล่นกีฬา เป็นต้น ถ้า ทำไม่ได้ตาม กำหนดควรหาเวลาชดเชย
4. ทบทวนความรู้กับเพื่อน อย่าหวงวิชา แบ่งปันความรู้อธิบายให้กันและกัน อย่าช่วยเหลือเพื่อนในทางที่ผิด เช่น ทุจริตเวลาสอบ หรือให้ลอกงานโดยไม่เข้าใจ
5. ศึกษาด้วยตนเอง มิใช่ต้องเรียนจากครูเพียงอย่างเดียว การศึกษาด้วยตนเองจากตำราหลายๆ เล่ม ต้องทำ ความเข้าใจจดสาระสำคัญต่าง ๆ ลงในโน้ตย่อ จดสิ่งที่ไม่เข้าใจไว้ค้นคว้าต่อไป ถ้าต้องการเชี่ยวชาญ คณิตศาสตร์ ต้องหมั่นหาโจทย์แปลกใหม่มาทำมาก ๆ เช่นโจทย์แข่งขัน เป็นต้น

   รู้ๆกันอยู่ว่า คณิตศาสตร์มีสูตร มีทฤษฎีมากมาย ทำอย่างไรถึงจะจำได้หมดล่ะ ?
  เราต้องเรียนด้วยความเข้าใจเสียก่อน จากนั้นเราต้องหมั่นทบทวน ก่อนอื่นเราจะต้องมีความรู้เกี่ยวกับ การจำการลืมก่อน จากการศึกษาของนักจิตวิทยาเกี่ยวกับการจำการลืมของมนุษย์พบว่า คนเรามีอัตราการจำหรือลืมดังกราฟข้างล่างนี้
ดังนั้น ข้อนี้ จึงสรุปได้ว่า เราควรทำความเข้าใจกับเรื่องนั้นๆเสียก่อน และหมั่นทบทวนทุกวันด้วย  อ้อ อีกนิดหนึ่ง ถ้าอยากจำได้ดีและเข้าใจในเรื่องนั้นๆมากขึ้น เราควรที่จะ มองเปรียบเทียบคณิตเรื่องนั้นกับ เรื่องราวในชีวิตประจำวัน เช่น มองสิ่งต่างๆที่พบเจอ เป็นคณิตศาสตร์ เป็นต้น

  แล้วถ้า เกิดไม่ชอบวิชานี้เอามากๆ จะทำอย่างไรดีล่ะ ?
สาเหตุที่ เรียนคณิตศาสตร์ได้ไม่ดีของหลายๆคน มักมาจาก การที่ไม่ชอบวิชานี้เอามากๆ ทำยังไงก็อ่านมันไม่เข้าใจ ทำใจให้ชอบมันไม่ได้เสียทีมีหลักการง่ายๆที่ว่า ถ้าไม่ชอบมัน ก็เกลียดมันเสียเลย  คิดซะว่ามันเป็นคู่ต่อสู้ของเรา เราต้องเอาชนะมันให้ได้ อย่าไปยอมแพ้มัน ถ้าเกิดเรายอมแพ้แก่มัน เราก็เสียศักดิ์ศรีแย่เลย ดังนั้นเราต้อง Fight Fight แล้วก็ Fight เพื่อเอาชนะ เจ้าคณิตศาสตร์ให้จงได้ สู้เขาทาเคชิ !!!

  ใกล้สอบ คณิตศาสตร์แล้ว เตรียมตัวอย่างไรดี?
ทบทวนสูตร กฏ นิยามต่างๆ ซึ่งถ้าเรามีเวลามากพอ เราควรที่จะทำแบบฝึกหัดเยอะๆ เพื่อฝึกความชำนาญในเรื่องนั้นๆ แต่ถ้า มีเวลาน้อย ก็ควรหาแนวข้อสอบ หรือโจทย์หลายๆข้อที่มีเฉลย มาดูเป็นแนวทาง การแก้ปัญหาโจทย์แบบต่างๆ และอาจจะลงมือทำบ้าง ข้อสองข้อ ก็ยังดีเพื่อให้เข้าใจเรื่องนั้นๆมากขึ้น
  เก่งคณิตศาสตร์ ดีตรงไหน ?
      คณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานของทุกศาสตร์ ทุกสาขาวิชา อีกทั้งยังเป็นส่วนหนึ่งในชีวิตประจำวันของเราด้วย ซึ่งไม่มีใครที่จะปฏิเสธได้เลยว่า ในชีวิตของเราจะไม่มีคณิตมาเกี่ยวข้อง อย่างน้อยเวลาไปซื้อของก็ ต้องมีการคำนวนบ้างแล้วล่ะ สรุปแล้วก็คือ เก่งคณิตไม่เสียหลายหรอก  สามารถนำไปใช้ได้ในทุกสาขาวิชา ใช้ในชีวิตประจำวันอีกทั้ง คณิตนั้นทำให้เราเป็นคนที่คิดอย่างเป็นระบบ เป็นขั้นตอน และแก้ปัญหาต่างๆเฉพาะหน้าได้ดีอีกด้วย

ที่มา : http://www.student.chula.ac.th/~51373131/knowledge.htm